Neke važne teoreme za kurs Osnove Geometrije 
Vrsta: Seminarski | Broj strana: 11

Sadržaj
Simsonova teorema.................................................................................2
Menelajeva teorema................................................................................3
Paposova teorema..................................................................................5
Apolonijeva teorema...............................................................................8
Literatura
Simsonova teorema
Teorema Podnožja normala iz proizvoljne tačke opisanog kruga trougla ABC na pravama određenim stranicama trougla su kolinearne tačke.
Dokaz
Neka je tačka M proizvoljna tačka sa opisanog kruga trougla ABC i neka ona pripada luku BC,a neka su P,Q i R podnožja normala iz M, redom na stranice BC, AC i AB.
Posmatrajmo četvorougao BRMP koji je tetivan jer je ugao EMBED Equation.3 , jednak pravom uglu. U njemu je ugao EMBED Equation.3 . Takođe četvorougao PMCQ je tetivan jer je ugao EMBED Equation.3 jednak pravom uglu. U njemu je ugao EMBED Equation.3 . Ali iz jednakosti EMBED Equation.3 jednako zbiru dva prava ugla i jednakosti EMBED Equation.3 takođe jednako zbiru dva prava ugla,imamo da je EMBED Equation.3 .
Sada posmatrajmo trougao BRM i trougao QMC. Iz svega prethodnog dobijamo da je ugao EMBED Equation.3 . I iz tetivnosti četvorougla BRMP i četvorougla PMCQ zaključujemo da je ugao EMBED Equation.3 . Što znači da su tačke P,Q i R kolinerane.
Menelajeva teorema
Teorema Tačke P,Q i R pravih određenim stranicama BC,CA i AB trougla ABC su kolinearne ako i samo ako važi
EMBED Equation.3
Dokaz
Pretpostavimo da su tačke P,Q i R kolinearne.Spustumo normale iz tačaka A,B i C na pravu određenoj tačkama P,Q i R.Označimo tačke podnožja normala sa,redom, A EMBED Equation.3 ,B EMBED Equation.3 i C EMBED Equation.3 . Trougao B EMBED Equation.3 BP je sličan trouglu C EMBED Equation.3 CP, jer imaju zajednički ugao kod temena P i ugao EMBED Equation.3 jenak je uglu EMBED Equation.3 ,koji si jednaki pravom uglu. Iz sličnosti imamo odnos EMBED Equation.3 . Takođe trougao QCC EMBED Equation.3 je sličan trouglu QAA EMBED Equation.3 jer su uglovi EMBED Equation.3 i EMBED Equation.3 jednaki,kao unakrsni uglovi, a uglovi kod temena A EMBED Equation.3 i C EMBED Equation.3 su jednaki pravom uglu pa su jednaki međusobno.Iz sličnosti zaključujemo odnos EMBED Equation.3 .I na kraju trouglovi AA EMBED Equation.3 R je sličan trouglu BB EMBED Equation.3 R jer su uglovi EMBED Equation.3 i EMBED Equation.3 jednaki kao unakrsni uglovi, i uglovi kod temena A EMBED Equation.3 i B EMBED Equation.3 su jednaki međusobno jer su jednaki pravom uglu. Važi odnos EMBED Equation.3 .

---------- CEO RAD MOŽETE PREUZETI NA SAJTU. ---------- 

www.maturski.org 

 

MOŽETE NAS KONTAKTIRATI NA E-MAIL: [email protected]